[Project Euler] 57. Square root convergents

1. 개요

    문제는 이곳에서 확인할 수 있다. \(\sqrt{2}\)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\sqrt{2}=1+1/(2+1/(2+1/(2+\cdots)))= 1.414213\cdots $$

    4번째까지의 항을 살펴보면 다음과 같다.

    \(1 + 1/2 = 3/2 \)

    \(1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 \)

    \(1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 \)

    \(1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 \)

    8번째 항은 \(1393/985\)이며, 이때 처음으로 분자의 자리수가 분모의 자리수보다 크게 된다. 1,000번째 항 내에서 분자의 자리수가 분모의 자리수보다 큰 항의 수를 구하는 것이 문제의 목표이다.

2. 구현

    각 항에서 1을 제외하고 나열해보자.

$$\frac{1}{2}, \ \frac{1}{2+\frac{1}{2}},\ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, \cdots$$

    위의 식에서 다음과 같은 점화식을 유도할 수 있다.

$$\ a_n=\frac{1}{2+a_{n-1}} \ where \ n\geq 2, \ a_1=\frac{1}{2}$$

    또한 \(a\), \(b\)가 서로소이면 \(a\), \(2a+b\)와 \(a\), \(a+b\)도 서로소이다. 따라서 위의 점화식으로 유도하는 분수는 기약분수이며 약분없이 자리수를 세면 된다.

# -*- coding: utf-8 -*-
# Project Euler 57

import math as m

num, denom = 1, 2
result = 0

for i in range(1000):

    num, denom = denom, 2*denom + num
    digit = list(map(lambda x: int(m.log10(x)), [num + denom, denom]))

    if digit[0] - digit[1] > 0:
        result += 1

print(result)

    답은 153이다.