공분산과 누적분포함수 간의 관계

1. 들어가며 

얼마전에 모표준편차를 추정하기 위하여 표본의 범위와 표본의 표준편차 중 무엇을 사용하는 것이 더 나은지 포스팅한 적이 있다. 그것을 밝히기 위해서 여러가지 공식을 증명했었지만 내용과 관련이 없는 것은 적지 않았다. 그렇게 증명한 것 중에 버리기 아까운 것을 적는다. 

어떤 확률 변수 $X$와 $Y$의 결합누적분포함수(Joint Cumulative Distribution Function; Joint CDF)를 $F_{XY}(x,y)$라 하고 $X$와 $Y$의 CDF를 각각 $F_X(x)$, $F_Y(y)$라고 하면 $X$와 $Y$의 공분산(Covariance)과 CDF는 아래와 같은 관계를 갖는다.

$$Cov(X,Y)={\int }_{R\times R}{F}_{XY}(x,y)-F_X(x)F_Y(y)dxdy$$

2. 증명

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}2Cov(X,Y)& =& 2(E(XY)-E(X)E(Y))\\ & =& E(X_1{Y}_1)-E(X_1)E(Y_2)-E(X_2)E(Y_1)+E(X_2{Y}_2)\\ & =& E[(X_1-X_2)(Y_1-Y_2)]\\ & =& E\left[{\int }_{R\times R}(I(u\le X_1)-I(u\le X_2))(I(v\le Y_1)-I(v\le Y_2))dudv\right]\\ & =& E[{\int }_{R\times R}I(u\le X_1)I(v\le Y_1)-I(u\le X_1)I(v\le Y_2) \\ -I(u\le X_2)I(v\le Y_1)+I(u\le X_2)I(v\le Y_2)dudv]\\ & =& 2{\int }_{R\times R}E[I(u\le X_1)I(v\le Y_1)]-E[I(u\le X_1)]E[I(v\le Y_2)]dudv\\ & =& 2{\int }_{R\times R}P(u\le X,v\le Y))-P(u\le X)P(v\le Y)dudv\\ & =& 2{\int }_{R\times R}{F}_{XY}(x,y)-F_X(x)F_Y(y)dxdy◼\end{array} \end{gathered}$$

3. 마치며

직관적으로 와닿지 않는 관계라서 증명하는데 시간이 오래 걸렸다. 증명하고 나서도 "의미"를 꼬집어 말하기 어렵다.